1. Betrachte die Ebene E durch P = (3, 2, -1) mit den Richtungsvektoren u = (0, 0, 2), v = (-2, 4, 1).
    Die Ebene liegt parallel zur z-Achse.
    • Probiere aus und begründe: Wenn einer der Richtungsvektoren parallel zur z-Achse liegt, dann liegt auch die Ebene E parallel zur z-Achse. Notiere eigene Beispiele.
    • Bestimme die Gleichung einer Ebene E, die parallel zur x-Achse verläuft. Erläutere dein Vorgehen.
    • Bestimme die Gleichung einer Ebene E, die parallel zur y-Achse verläuft. Erläutere dein Vorgehen.
  2. Probiere aus und begründe: Wenn beide Richtungsvektoren einer Ebene E parallel zu je einer anderen Koordinatenachse liegen, dann liegt die Ebene parallel zu der betreffenden Koordinatenebene. Gib Beispiele an, erläutere dein Vorgehen:
    • E liegt parallel zur x1x2 - Ebene
    • E liegt parallel zur x1x3 - Ebene
    • E liegt parallel zur x2x3 - Ebene
  3. Finde Beispiele und begründe:
    • Wenn genau einer der Richtungsvektoren parallel zu einer Koordinatenachse liegt, hat die Ebene zwei Spurpunkte und es gibt drei Spurgeraden.
    • Wenn beide Richtungsvektoren parallel zu je einer Koordinatenachse liegen, dann gibt es nur einen Spurpunkt und zwei Spurgeraden.
  4. * Betrachte die Ebene E durch P = (2, 3, 4) mit den Richtungsvektoren u = (2, 1, 0), v= (3, 2, 0). E ist parallel zur x1x2 - Ebene.
      Überprüfe und begründe:
    • Keiner der Richtungsvektoren u und v ist parallel zur x1 - Achse oder x2 - Achse. Da E parallel x1x2 liegt, müssen die Geraden durch P mit den Richtungsvektoren u bzw. v windschief zur x3 - Achse sein
    • .
    • Der Ortsvektor der Ebene bestimmt den Abstand von der x1x2 - Ebene.
    • E ist parallel zur x1x2 - Ebene, wenn die Richtungsvektoren u und v in der 3. Koordinate den Wert 0 haben.
  5. * Nutze das Wissen aus der vorangegangen Aufgabe und bestimme:
    • Eine Ebene E parallel zur zur x1x3 - Ebene, wobei die Richtungsvektoren zu keiner Koordinatenachse parallel ist.
    • Eine Ebene E parallel zur zur x2x3 - Ebene, , wobei die Richtungsvektoren zu keiner Koordinatenachse parallel ist.
  6. * Betrachte die Ebene E durch den Punkt P = (0,0,0) mit den Richtungsvektoren u = (-4, 3, -2), v= (-3, 5, -1).
    • Begründe: Wenn der Punkt (0, 0, 0) in der Ebene E liegt, dann ist dieser Punkt auch der Spurpunkt für jede Koordinatenebene. Die zugehörigen Spurgeraden können nicht mit Hilfe der Spurpunkte bestimmt werden.
    • Kontrolliere: Es gibt dennoch eindeutige Spurgeraden.
      Überprüfe und begründe am Beispiel: Der Richtungsvektor der jeweiligen Spurgeraden muss eine Linearkombination aus den Richtungsvektoren der Ebene sein und er muss in einer Koordinate den Wert 0 haben. Bestimme jeweils einen Richtungsvektor. Nutze dazu die Gleichung 0 = s ∙ u3 + t ∙ v3 bzw. 0 = s ∙ u2 + t ∙ v2 oder 0 = s ∙ u1 + t ∙ v1.
  7. * Überprüfe:
    • Wenn die Vektoren (u1,u2, 0) und (v1,v2, 0) kollinear sind, dann liegt die x3- Achse in der Ebene E.
    • Wenn die Vektoren (u1,0, u3) und (v1,0, v3) kollinear sind, dann liegt die x2- Achse in der Ebene E.
    • Wenn die Vektoren (0, u2, u3) und (0, v2, v3) kollinear sind, dann liegt die x1- Achse in der Ebene E.

Allgemeine Tipps & Klicks

Was? Wie? Wann?
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Einheiten x- oder y-Achse strecken /stauchen, SHIFT+ Mauszeiger auf die Achse und nach rechts oder links ziehen Eine Achse so gestreckt / gestaucht werden.
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getestete Browser
Chrome (ab Version 50) Fullscreen funktioniert manchmal nicht richtig (Fenster zu weit)
Firefox (ab Version 46) ist manchmal etwas langsam bei der Auswertung von Nutzeraktionen im Graphikteil (insb. beim Einsatz von Tabellen)
Microsoft Edge (ab Version 126) ok
Opera one (ab Version 111) ok
Eingabefelder
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mathematische Funktionen Potenzen wie üblich mit ˆ, Exponentialfunktion ex: exp(x), Betragsfunktion |x|: abs(x), Wuerzelfunktion sqrt(x), abschnittsweise definierte Funktionen mit IF['Bedingung', 'Term A', 'Term B']
Überprüfen von Eingaben Eingabe mit Return + Klick irgendwo hin abschließen

zu: Spurpunkte und Spurgeraden von Ebenen in besonderer Lage

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Die Grafikansicht kann mit der Maus gedreht und verschoben, + SHIFT, werden. Über das Drehrad an der Maus wird gezoomt.

Klick auf eine "Ebenen" - Checkbox zeigt in der 3D-Ansicht die jeweilige Koordinatenebene sowie die zugehörigen Spurpunkte und eine zugehörige Spurgerade.
Rechts wird eine mögliche Lösung der Geradengleichung angezeigt.