1. Überprüfen Sie am Beispiel nachstehender Funktionen
    • f(x) = (x-2)2 +1, f(x) = - (x-2)2 +1 und
    • f(x) = (x-2)4 +1, f(x) = - (x-2)4 +1
    die folgenden Aussagen:
    • In einem Extrempunkt von f hat f' eine Nullstelle und f' hat dort einen Vorzeichenwechsel. Der Extrempunkt ist ein Maximum (Hochpunkt), wenn f' in der Umgebung um die Nullstelle monoton fallend ist. Der Extrempunkt ist ein Minimum (Tiefpunkt), wenn f' in der Umgebung um die Nullstelle monoton steigend ist.
    • Die obige Aussage entspricht der folgenden Formulierung: Wenn f'(x0) = 0 und f''(x0) ≠ 0, dann hat f an der Stelle x0 einen Extrempunkt. x0 ist ein Maximum, wenn f''(x0) < 0. x0 ist ein Minimum, wenn f''(x0) > 0. (Dies wird auch 'hinreichende' Bedingung für ein Maximum / Minimum in x0 genannt.)
    • Wenn f' an der Stelle x0 keine Nullstelle hat, kann dort auch kein Extrempunkt von f liegen. Die Bedingung f'(x0) = 0 wird deswegen auch 'notwendige' Bedingung genannt.
    • An einer Stelle x0 liegt ein mehrfacher Extrempunkt von f vor, wenn f' dort eine Nullstelle und gleichzeitig einen Wendepunkt hat.
  2. Überprüfen Sie am Beispiel nachstehender Funktionen
    • f(x) =x3-3x2 +1, und
    • f(x) = 1/4 x4- 2/3 x, 3 +1
    die folgenden Aussagen:
    • Ein Wende- oder Sattelpunkt von f ist ein Extrempunkt von f'.
    • Hat f an einer Stelle x0 einen Wendepunkt, so ist die Steigung von f dort ungleich 0.
    • In einem Sattelpunkt hat f in P eine waagerechte Tangente. Der Extrempunkt der Ableitung f' ist also auch eine Nullstelle der Ableitung.
    • An einem Wende- oder Sattelpunkt ändert sich das Krümmungsverhalten des Graphen von f. Formulieren Sie eine Bedingung für die Ableitungen von f, die eindeutig eine Rechts-Links bzw. eine Links-Rechts-Krümmung beschreiben.
  3. Überprüfen Sie am Beispiel nachstehender Funktionen
    • f(x) =(x-1)4 +2, und
    • f(x) =(x-1)5 +2
    die folgende Aussage:

    Wenn der Grad n der ersten von Null verschiedenen Ableitung (f(n)(x0) ≠ 0) von f an einer Stelle x0 ungerade ist, so hat f in x0 einen Wende- oder Sattelpunkt. Ist n gerade, so hat f in x0 einen Extrempunkt.

Allgemeine Tipps & Klicks

Was? Wie? Wann?
Arbeitsblatt neu laden Reload-Button im Arbeitsblatt oben rechts Das Arbeitsblatt soll in den Anfangszustand zurückgesetzt werden; das Arbeitsblatt lässt sich nicht mehr richtig nutzen.
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Browserwahl
Chrome (Version 50) erste Wahl
Firefox (Version 46) ist manchmal etwas langsam bei der Auswertung von Nutzeraktionen im Graphikteil (insb. beim Einsatz von Tabellen)
Microsoft Edge zur Zeit besser nicht: Graphikfenster verschwindet manchmal
Internet Explorer 11 zur Zeit besser nicht: auch hier wird das Graphikfenster zu oft komplett erneuert.
Eingabefelder
mathematische Symbole Rechtsklick auf das α im Eingabefeld zeigt ein Kontextmenü mit mathematischen Symbolen
mathematische Funktionen Potenzen wie üblich mit ˆ, abschnittsweise definierte Funktionen mit IF['Bedingung', 'Term A', 'Term B']

zu: Ableitungen höherer Ordnung (max 5)

Das Arbeitsblatt zeigt eine Funktion f mit einem Punkt P. Falls zu der Funktion Ableitungsfunktionen existieren, werden entsprechende Checkboxen angezeigt. Mit diesen wird die jeweilige Ableitungsfunktion sichtbar gemacht. Man kann auch wieder die Tangente an der jeweiligen Ableitungsfunktion in P sichtbar machen.

Über das Eingabefeld für f(x) können beliebige Funktionen eingegeben werden.

Exponenten werden mit ^ eingegeben. Bei Klick in das Eingabefeld wird rechts im Feld ein α sichtbar. Wird dieses mit der linken Maustaste angeklickt, erscheint ein Auswahlfeld mit mehreren mathematischen Symbolen.

Eine Beschränkung des Definitionsbereiches erreichen Sie durch die Eingabe IF['Bedingung', 'Term A', 'Term B']. Die Eingabe liest sich wie folgt: WENN 'Bedingung' DANN 'Term A', SONST 'Term B'. Falls für 'Term A' oder 'Term B' keine Einsetzung erfolgt, ist die Funktion auf diesem Bereich auch nicht definiert.

Hinweis: Die Anzahl der darstellbaren Ableitungen ist unabhängig von der Anzahl tatsächlich existierender Ableitungen auf 5 begrenzt.