Merke:

Hinreichende Bedingung für Nullstellen:
f(x) = 0

Hinreichende Bedingung für Extrema:
f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0.
Das Extremum ist ein Maximum, wenn f''(x) < 0. Es ist ein Minimum, wenn f''(x) > 0.

Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt:
f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0.

Hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt:
f'(x) = 0 und f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0.


  1. Setze f(X) = x2 - 4.
    Bestimme die Nullstellen und die Extrema rechnerisch. Überprüfe im Applet, indem du x auf den gefundenen Wert setzt.
  2. Setze f(X) = -x2 + 3x - 4.
    Bestimme die Nullstellen und die Extrema rechnerisch. Überprüfe im Applet, indem du x auf den gefundenen Wert setzt.
  3. Setze f(X) = x2 - 4.
    Bestimme die Nullstellen und die Extrema rechnerisch. Überprüfe im Applet, indem du x auf den gefundenen Wert setzt.
  4. Setze f(x)= 1/4x4 - 4.
    • Bestimme die Nullstellen rechnerisch.
    • f hat in x=0 ein Minimum, die hinreichende Bedingung ist jedoch nicht erfüllt. Überprüfe dies rechnerisch.
    • Begründe: Da f'(x) in x = 0 sein Vorzeichen von - nach + wechselt, ist es ein Minimum.
  5. Setze f(x)= -1/4x4 - 4.
    • f hat in x = 0 ein Maximum, die hinreichende Bedingung ist jedoch nicht erfüllt. Überprüfe dies rechnerisch.
    • Begründe: Da f'(x) in x = 0 sein Vorzeichen von + nach - wechselt, ist es ein Maximum.
  6. Setze f(X) = 2/3 x3 - 2x2.
    • Bestimme die Nullstellen und die Extrema rechnerisch. Überprüfe im Applet, indem du x auf den gefundenen Wert setzt.
    • Begründe: Die Funktion muss einen Wendepunkt haben./li>
    • Bestimme den Wendepunkt rechnerisch.
      • Setze f(X) = -2x3 +4x 2 - 6x.
        • Bestimme die Nullstellen, die Extrema und Wendepunkte rechnerisch. Überprüfe im Applet, indem du x auf den gefundenen Wert setzt.
        • Setze f(X) = 2/3 x3 - 2.
          Bestimme den Wendepunkt. Untersuche, ob dieser Wendepunkt auch ein Sattelpunkt ist.
          • Setze f(x)= -1/5x5-4.
            • f hat in x=0 einen Sattelpunkt, die hinreichende Bedingung ist jedoch nicht erfüllt. Überprüfe dies rechnerisch.
            • Begründe: Da f''(x) in x = 0 sein Vorzeichen wechselt, liegt ein Wendepunkt vor. Da auch f'(0)=0 ist, ist es ein Sattelpunkt.
          • Untersuche auf Nullstellen, Extrema, Wendepunkte oder Sattelpunkte:
            • x2-3x - 4
            • 1/6x3 - 2x2 + 6x
            • 2x4 - 4x2

Allgemeine Tipps & Klicks

Was? Wie? Wann?
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Browserwahl
Chrome (Version 50) erste Wahl
Firefox (Version 46) ist manchmal etwas langsam bei der Auswertung von Nutzeraktionen im Graphikteil (insb. beim Einsatz von Tabellen)
Microsoft Edge zur Zeit besser nicht: Graphikfenster verschwindet manchmal
Internet Explorer 11 zur Zeit besser nicht: auch hier wird das Graphikfenster zu oft komplett erneuert.
Eingabefelder
mathematische Symbole Rechtsklick auf das α im Eingabefeld zeigt ein Kontextmenü mit mathematischen Symbolen
mathematische Funktionen Potenzen wie üblich mit ˆ, abschnittsweise definierte Funktionen mit IF['Bedingung', 'Term A', 'Term B']

zu: Funktionsuntersuchung mit Ableitungen

DerPunkt P kann entlang des Graphen verschoben werden. Besondere Punkte werden entsprechend angezeigt.
Achtung: Es kann hierbei zu Ungenauigkeiten kommen, da die besonderen Punkte für eine kleiner Umgebung um y definiert sind.