Die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse lässt sich näherungsweise durch die Summe von Rechtecken bestimmen. Ein übliches Verfahren ist die Bestimmung der Untersumme bzw. der Obersumme einer Funktion f(x) auf einem Intervall [a,b].

    Man teilt das Intervall in n gleichgroße Teilintervalle. Für die untersumme nimmt man die Rechtecke, die von dem jeweiligen Teilintervall und der senkrechten Strecke zum Minimum von f(x) auf diesem Intervall gebildet werden, für die Obersumme nimmt man die Rechtecke, die vom jeweilgen Teilintervall und der Strecke zum Maximum von f(x) auf diesem Teilintervall gebildet werden.

  1. Bearbeite für die Funktionen f(x) = 2x und f(x) = 2x + 4 auf dem Intervall [0,4]:
    • Berechne die Unter- und Obersumme mit n = 2 und 4. Vergleiche mit dem angezeigten Ergebnis.
    • Verfeinere die Intervallunterteilung n über den Schieberegler und beobachte, wie sich die Werte der Untersumme und Obersumme einander annähern. Bestimme die Untersumme und Obersumme zu n = 10 und n = 20. Gib einen Schätzwert für den tatsächlichen Flächeninhalt an.
    • Vervollständige: Mit größer werdendem n wird die Untersumme ........., die Obersumme ......... . Bei sehr großem n sind Untersumme und Obersumme ...... .
  2. Bestimme für die Funktion f(x) = 2x die Unter- und Obersummen auf dem Intervall [-3, 3] zu n = 3, 6, 10, 20, 40, 60. Rechne für n = 3 nach.

    Begründe: Flächen unterhalb der x-Achse haben immer einen negativen Wert, d.h. die Fläche hat eine negative Orientierung . Flächen oberhalb der x-Achse haben immer einen postiven Wert, d.h.eine positive Orientierung.

    Bestimme näherungsweise - über großes n - den Flächeninhalt auf dem Intervall [-3, 3]. Begründe den Wert.

  3. Bestimme zu den nachstehenden Funktionen jeweils einen Näherungswert für den Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse.
    • f(x) = x3 auf I = [0,2]
    • f(x) = √x auf I = [0,4]
    • f(x) = cos(x) und sin(x) auf I = [0, π/2;]

Allgemeine Tipps & Klicks

Was? Wie? Wann?
Arbeitsblatt neu laden Reload-Button im Arbeitsblatt oben rechts Das Arbeitsblatt soll in den Anfangszustand zurückgesetzt werden; das Arbeitsblatt lässt sich nicht mehr richtig nutzen.
Seite neu laden Reload-Button des Browsers Das Arbeitsblatt lässt sich nicht mehr richtig nutzen.
nur Graphik oder nur Text zeigen ←→ Button maximale Breite maximiert bzw. minimiert
Aufgaben drucken | pdf erzeugen Aufgaben mit ←→(Button maximale Breite) anzeigen lassen, Druckoption des Browsers nutzen. Falls ein Papieroutput gewünscht ist.
Aufgaben scrollen Mit Mauszeiger oder Fingertipp von unten nach oben scrollen. GGf. vorher reintippen. Der Aufgabentest ist zu lang.
Grafikfenster
Verschieben 2D linke Maustaste gedrückt halten und Mauszeiger verschieben
Tablet: Mit einem Finger schieben		 Ein anderer Ausschnitt soll sichtbar werden.
Verschieben 3D Shift und linke Maustaste gedrückt halten und Mauszeiger verschieben. Ein anderer Ausschnitt soll sichtbar werden.
Drehen 3D Linke Maustaste gedrückt halten und Mauszeiger verschieben. 3D Ansicht wird gedreht.
Zoomen Rollrad der Maus bewegen
Tablet: Mit zwei Fingern auf-/zu bewegen		 Die Ansicht soll vergrößert / verkleinert werden.
Einheiten x- oder y-Achse strecken /stauchen, SHIFT+ Mauszeiger auf die Achse und nach rechts oder links ziehen Eine Achse so gestreckt / gestaucht werden.
Refresh (löscht Spuren (Traces)) STRG+SHIFT+F Ansicht soll aufgefrischt, Spuren gelöscht werden.
getestete Browser
Chrome (ab Version 50) Fullscreen funktioniert manchmal nicht richtig (Fenster zu weit)
Firefox (ab Version 46) ist manchmal etwas langsam bei der Auswertung von Nutzeraktionen im Graphikteil (insb. beim Einsatz von Tabellen)
Microsoft Edge (ab Version 126) ok
Opera one (ab Version 111) ok
Eingabefelder
mathematische Symbole Rechtsklick auf das α im Eingabefeld zeigt ein Kontextmenü mit mathematischen Symbolen
mathematische Funktionen Potenzen wie üblich mit ˆ, Exponentialfunktion ex: exp(x), Betragsfunktion |x|: abs(x), Wuerzelfunktion sqrt(x), abschnittsweise definierte Funktionen mit IF['Bedingung', 'Term A', 'Term B']
Überprüfen von Eingaben Eingabe mit Return + Klick irgendwo hin abschließen

zu: Untersumme und Obersumme als Näherung des Integrals

Das Arbeitsblatt zeigt die Obersumme bzw. Untersumme zu einer Funktion f auf dem Intervall [a,b] mit der Unterteilung in n - Teilintervalle.

Die Funktion f kann über das Eingabefeld, a, b und n können über die Schieberegler verändert werden.

Die Werte in der Tabelle zeigen das Maximum (blau) sowie das Minimum (orange) von f auf dem jeweiligen Teilintervall.