1. Bestimmen Sie zu den gegebenen Funktionen die Änderungsraten auf den Intervallen:

    I1 = [-1,0], I2 = [0,1], I3 = [1,3], I4 = [3,6]

    • f(x) = x2 - 2;
    • f(x) = 3x2 - x
    • f(x) = (x-4)2;
    • f(x) = 12 / (x+2);
    • f(x) = 2x.
  2. Begründen Sie am Bespiel f(x) = x2: Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f auf einem Intervall [a,b] entspricht der Steigung der Geraden durch die Punkte PQ.
  3. *Betrachten Sie die Funktion f(x) = x2.
    • Bestimmen Sie jeweils die Änderung und die mittlere Änderungsrate von f auf den Intervallen [0,2], [2,4]und [0,4].
    • Begründen Sie: Die mittlere Änderungsrate auf einem Intervall [a,b] entspricht dem Durchschnitt der Änderungen auf Teilintervallen von [a,b]. Überprüfen Sie dies am Intervall [0,4] und seinen Zerlegungen:
      • [0,2] und [2,4]
      • [0,1], [1,2], [2,3] und [3,4]
    • Überprüfen Sie: Die Funktion f(x) = x2 hat auf den Intervallen [-1,3] und [0,2] die gleiche mittlere Änderungsrate.

      Begründen Sie: Die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall [0,2] beschreibt den Verlauf von f besser. Aktivieren Sie dazu die Option "X einblenden", verschieben Sie X im Intervall [a,b] und vergleichen die y-Werte von X auf f und X̃ auf g.

  4. *Betrachten Sie die Funktion f(x) = x3 – 3x + 1.
    • Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate auf den Intervall [-1,1] und finden Sie weitere Intervalle mit der gleichen Änderungsrate.
    • Finden Sie Intervalle, auf dem die mittlere Änderungsrate den Wert 0 hat.
    • Diskutieren Sie untereinander, welche Intervalle als Näherung für f brauchbarer sind.

  5. *[1] Ein Schienenfahrzeug bewegt sich nach dem Weg-Zeit-Gesetz s(t) = 0.9t2, wobei t die Zeit in Sekunden und s die in dieser Zeit zurückgelegte Strecke ist. Die Funktion lässt sich im Arbeitsblatt durch f(x) = 0.9x2 darstellen.
    • Bestimmen Sie den Weg, den das Fahrzeug in den ersten drei Sekunden zurücklegt.
    • Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit über die ersten drei Sekunden.
    • Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit in der Zehntelsekunde, die auf die ersten drei Sekunden folgt. Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Fragestellung.
  6. [2] Ein Fahrzeug wird abgebremst. Für den in der Zeit t zurückgelegten Weg s(t) gilt s(t) = 20t - t2, für 0 ≤ t ≥ 10 (s in Meter, t in Sekunden). Stellen Sie den Funktionsgraphen auf einem geeigneten Definitionsbereich dar. Wählen Sie ggf. ein anderes Verhältnis der Einheiten von x und y-Achse zueinander.
    • Wieviele Meter hat legt das Fahrzeug in den ersten, zweiten 5 Sekunden zurück? Was beschreibt der Wert für die mittlere Änderungrate?
    • Wann kommt das Fahrzeug zum Stillstand?

[1] aus: Mathematik Gymnasiale Oberstufe Berlin Leistungskurs MA-1, Cornelsen-Verlag, Berlin 2010, S. 79

[2] siehe auch: Lambacher - Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett-Verlag, 2007, S. 46

Allgemeine Tipps & Klicks

Was? Wie? Wann?
Arbeitsblatt neu laden Reload-Button im Arbeitsblatt oben rechts Das Arbeitsblatt soll in den Anfangszustand zurückgesetzt werden; das Arbeitsblatt lässt sich nicht mehr richtig nutzen.
Seite neu laden Reload-Button des Browsers Das Arbeitsblatt lässt sich nicht mehr richtig nutzen.
nur Graphik oder nur Text zeigen ←→ Button maximiert bzw. minimiert
Verschieben 2D linke Maustaste gedrückt halten und Mauszeiger verschieben
Tablet: Mit einem Finger schieben
Ein anderer Ausschnitt soll sichtbar werden.
Verschieben 3D Shift und linke Maustaste gedrückt halten und Mauszeiger verschieben. Ein anderer Ausschnitt soll sichtbar werden.
Drehen 3D Linke Maustaste gedrückt halten und Mauszeiger verschieben. 3D Ansicht wird gedreht.
Zoomen Rollrad der Maus bewegen
Tablet: Mit zwei Fingern auf-/zu bewegen
Die Ansicht soll vergrößert / verkleinert werden.
Einheiten x- oder y-Achse strecken /stauchen, SHIFT+ Mauszeiger auf die Achse und nach rechts oder links ziehen Eine Achse so gestreckt / gestaucht werden.
Refresh (löscht Spuren (Traces)) STRG+SHIFT+F Ansicht soll aufgefrischt, Spuren gelöscht werden.
Browserwahl
Chrome (Version 50) erste Wahl
Firefox (Version 46) ist manchmal etwas langsam bei der Auswertung von Nutzeraktionen im Graphikteil (insb. beim Einsatz von Tabellen)
Microsoft Edge zur Zeit besser nicht: Graphikfenster verschwindet manchmal
Internet Explorer 11 zur Zeit besser nicht: auch hier wird das Graphikfenster zu oft komplett erneuert.
Eingabefelder
mathematische Symbole Rechtsklick auf das α im Eingabefeld zeigt ein Kontextmenü mit mathematischen Symbolen
mathematische Funktionen Potenzen wie üblich mit ˆ, Exponentialfunktion ex: exp(x), Betragsfunktion |x|: abs(x), Wuerzelfunktion sqrt(x), abschnittsweise definierte Funktionen mit IF['Bedingung', 'Term A', 'Term B']

zu: Mittlere Änderungsrate

Im Arbeitsblatt können über das Eingabefeld für f(x) beliebige Funktionen eingegeben werden.

Exponenten werden mit ^ eingegeben. Bei Klick in das Eingabefeld wird rechts im Feld ein α sichtbar. Wird dieses mit der linken Maustaste angeklickt, erscheint ein Auswahlfeld mit mehreren mathematischen Symbolen.

Eine Beschränkung des Definitionsbereiches erreichen Sie durch die Eingabe IF['Bedingung', 'Term A', 'Term B']. Die Eingabe liest sich wie folgt: WENN 'Bedingung' DANN 'Term A', SONST 'Term B'. Falls für 'Term A' oder 'Term B' keine Einsetzung erfolgt, ist die Funktion auf diesem Bereich auch nicht definiert.

Mit Rechts-Klick auf das Arbeitsblatt erscheint ein Menü, mit dem Sie die Parameter der Graphik verändern können. Hier können Sie über die Auswahl zu 'xAxis:yAxis:' die Achsenverhältnisse verändern. Bei sehr kleinen Maßstäben empfiehlt es sich, das Koordinatengitter auszuschalten (Option 'Grid'). Beachten Sie: Ein Reload im Arbeitsblatt oder über den Browser setzt alle Änderungen zurück.

Ist die Checkbox 'X einblenden' aktiviert, wird ein Punkt X im Intervall [a,b] auf dem Graphen f sichtbar. Zu diesem Punkt erscheint auf dem Geradenabschnitt PQ der Punkt X̃. Die y-Werte von X und X̃ werden auf der y-Achse abgetragen.

Die Punkte P, Q und X können verschoben werden. X ist dabei auf das Intervall beschränkt.