1. Bestimmen Sie zu den gegebenen Funktionen die Änderungsraten auf den Intervallen:

   I₁ = [-1,0], I₂ = [0,1], I₃ = [1,3], I₄ = [3,6]

   • f(x) = x² - 2;
   • f(x) = 3x² - x
   • f(x) = (x-4)²;
   • f(x) = 12 / (x+2);
   • f(x) = 2^x.
2. Begründen Sie am Bespiel f(x) = x²: Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f auf einem Intervall [a,b] entspricht der Steigung der Geraden durch die Punkte PQ.
3. *Betrachten Sie die Funktion f(x) = x².
   • Bestimmen Sie jeweils die Änderung und die mittlere Änderungsrate von f auf den Intervallen [0,2], [2,4]und [0,4].
   • Begründen Sie: Die mittlere Änderungsrate auf einem Intervall [a,b] entspricht dem Durchschnitt der Änderungen auf Teilintervallen von [a,b]. Überprüfen Sie dies am Intervall [0,4] und seinen Zerlegungen:
     • [0,2] und [2,4]
     • [0,1], [1,2], [2,3] und [3,4]
   • Überprüfen Sie: Die Funktion f(x) = x² hat auf den Intervallen [-1,3] und [0,2] die gleiche mittlere Änderungsrate.

     Begründen Sie: Die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall [0,2] beschreibt den Verlauf von f besser. Aktivieren Sie dazu die Option "X einblenden", verschieben Sie X im Intervall [a,b] und vergleichen die y-Werte von X auf f und X̃ auf g.

4. *Betrachten Sie die Funktion f(x) = x³ – 3x + 1.
   • Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate auf den Intervall [-1,1] und finden Sie weitere Intervalle mit der gleichen Änderungsrate.
   • Finden Sie Intervalle, auf dem die mittlere Änderungsrate den Wert 0 hat.

   Diskutieren Sie untereinander, welche Intervalle als Näherung für f brauchbarer sind.

5. *^[1] Ein Schienenfahrzeug bewegt sich nach dem Weg-Zeit-Gesetz s(t) = 0.9t², wobei t die Zeit in Sekunden und s die in dieser Zeit zurückgelegte Strecke ist. Die Funktion lässt sich im Arbeitsblatt durch f(x) = 0.9x² darstellen.
   • Bestimmen Sie den Weg, den das Fahrzeug in den ersten drei Sekunden zurücklegt.
   • Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit über die ersten drei Sekunden.
   • Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit in der Zehntelsekunde, die auf die ersten drei Sekunden folgt. Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Fragestellung.
6. ^[2] Ein Fahrzeug wird abgebremst. Für den in der Zeit t zurückgelegten Weg s(t) gilt s(t) = 20t - t², für 0 ≤ t ≥ 10 (s in Meter, t in Sekunden). Stellen Sie den Funktionsgraphen auf einem geeigneten Definitionsbereich dar. Wählen Sie ggf. ein anderes Verhältnis der Einheiten von x und y-Achse zueinander.
   • Wieviele Meter hat legt das Fahrzeug in den ersten, zweiten 5 Sekunden zurück? Was beschreibt der Wert für die mittlere Änderungrate?
   • Wann kommt das Fahrzeug zum Stillstand?

[1] aus: Mathematik Gymnasiale Oberstufe Berlin Leistungskurs MA-1, Cornelsen-Verlag, Berlin 2010, S. 79

[2] siehe auch: Lambacher - Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett-Verlag, 2007, S. 46