1. Betrachten Sie die Funktion f(x) = x2.
    • Bestimmen Sie, um wie viel sich der Funktionswert von f jeweils auf den Intervallen [0,3] und [1,3] ändert.

      Warum sagt man: Die Funktion x2 steigt auf dem Intervall [1,3] schneller als auf dem Intervall [0,3], obwohl der Gesamtanstieg auf dem Intervall [0,3] größer ist ?

    • In Bild wird zu jedem Intervall auch die mittlere Änderungsrate angegeben. Welche Bedeutung hat dieser Wert für das Wachstum der Funktion? Vergleiche dazu das Wachstum der Funktion auf den Intervallen [0,2], [0,1] und [1,2].
    • Überprüfen Sie: Die Funktion f(x) = x2 hat auf den Intervallen [-1,3] und [0,2] die gleiche mittlere Änderungsrate.

      Warum würde man trotzdem sagen, dass die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall [0,2] den Verlauf der Funktion besser beschreibt?

  2. Betrachten Sie die Funktion f(x) = 1/3 x2.
    • Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall [0,6].
    • Aktivieren Sie die Option "X einblenden" und setzen Sie den (blauen) Punkt X auf f etwa in die Mitte des Intervalls.

      Verschieben Sie X auf dem Intervall und beobachten Sie, wie sich der Abstand der y-Werte von X und X̃ zueinander verändert. Beschreiben Sie: Wo ist der Abstand klein, wo groß? In welchen Intervallabschnitten wird die Funktion durch die Näherung am besten beschrieben?

    • Wenn ein Wert X auf dem Graphen das Intervall [0,6] zur Hälfte (zu einem Drittel) durchlaufen hat, wie groß sind der tatsächliche und der geschätzte Zuwachs im Punkt X ?
    • Zerlegen Sie das Intervall [0,6] in kleinere Intervalle, auf denen die Funktion f besser durch die Geradensabschnitte PQ angenähert wird. Bestimmen Sie jeweils die mittlere Änderungsrate. Ermitteln Sie rechnerisch die mittlere Änderungsrate auf dem gesamten Intervall aus den mittleren Änderungsraten auf den Teilintervallen.
  3. Bestimmen Sie zu den gegebenen Funktionen die Änderungsraten auf den Intervallen:

    I1 = [-1,0], I2 = [0,1], I3 = [1,3], I4 = [3,6]

    • f(x) = x2 - 2;
    • f(x) = (x-4)2;
    • f(x) = 12 / (x+2);
    • f(x) = 2x.
  4. Betrachten Sie die Funktion f(x) = x3 – 3x + 1.
    • Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate auf den Intervall [-1,1] und finden Sie weitere Intervalle mit der gleichen Änderungsrate.
    • Finden Sie Intervalle, auf dem die mittlere Änderungsrate den Wert 0 hat.

      • Diskutieren Sie untereinander, welche Intervalle als Näherung für f brauchbarer sind.

  5. Wo findet sich die mittlere Änderungsrate in der Grafik wieder?
    Wieso kann der Geradenabschnitt zwischen P und Q auf einem beliebigen Intervall als Näherung für f gelten?
    Wie lässt sich ein Schätzwert für einen Funktionswert im Punkt X rechnerisch mit Hilfe der mittlerern Änderungsrate bestimmen?
  6. Auf welchen Intervallen ist die mittlere Änderungsrate gleich der absoluten Änderung des Funktionswertes?
  7. [1] Ein Schienenfahrzeug bewegt sich nach dem Weg-Zeit-Gesetz s(t) = 0.9t2, wobei t die Zeit in Sekunden und s die in dieser Zeit zurückgelegte Strecke ist.

    Wie lässt sich diese Funktion im Arbeitsblatt darstellen?
    Welcher Defintionsbereich ist sinnvoll?

    Wenn Sie eine geeignete Darstellung für die Funktion gefunden haben:

    • Welchen Weg legt das Fahrzeug in den ersten drei Sekunden zurück?
    • Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit in den ersten drei Sekunden?
    • Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit in der Zehntelsekunde, die auf die ersten drei Sekunden folgt. Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Fragestellung.
  8. [2] Ein Fahrzeug wird abgebremst. Für den in der Zeit t zurückgelegten Weg s(t) gilt s(t) = 20t - t2, für 0 ≤ t ≥ 10 (s in Meter, t in Sekunden). Stellen Sie den Funktionsgraphen auf einem geeigneten Definitionsbereich dar. Wählen Sie ggf. ein anderes Verhältnis der Einheiten von x und y-Achse zueinander.
    • Wieviele Meter hat legt das Fahrzeug in den ersten, zweiten 5 Sekunden zurück? Was beschreibt der Wert für die mittlere Änderungrate?
    • Wann kommt das Fahrzeug zum Stillstand?

[1] aus: Mathematik Gymnasiale Oberstufe Berlin Leistungskurs MA-1, Cornelsen-Verlag, Berlin 2010, S. 79

[2] siehe auch: Lambacher - Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett-Verlag, 2007, S. 46

Allgemeine Tipps & Klicks

Was? Wie? Wann?
Arbeitsblatt neu laden Reload-Button im Arbeitsblatt oben rechts Das Arbeitsblatt soll in den Anfangszustand zurückgesetzt werden; das Arbeitsblatt lässt sich nicht mehr richtig nutzen.
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Zoomen Rollrad der Maus bewegen
Tablet: Mit zwei Fingern auf-/zu bewegen		 Die Ansicht soll vergrößert / verkleinert werden.
Refresh (löscht Spuren (Traces)) STRG+SHIFT+F Ansicht soll aufgefrischt, Spuren gelöscht werden.
Browserwahl
Chrome (Version 50) erste Wahl
Firefox (Version 46) ist manchmal etwas langsam bei der Auswertung von Nutzeraktionen im Graphikteil (insb. beim Einsatz von Tabellen)
Microsoft Edge zur Zeit besser nicht: Graphikfenster verschwindet manchmal
Internet Explorer 11 zur Zeit besser nicht: auch hier wird das Graphikfenster zu oft komplett erneuert.
Eingabefelder
mathematische Symbole Rechtsklick auf das α im Eingabefeld zeigt ein Kontextmenü mit mathematischen Symbolen
mathematische Funktionen Potenzen wie üblich mit ˆ, abschnittsweise definierte Funktionen mit IF['Bedingung', 'Term A', 'Term B']

zu: Mittlere Änderungsrate

Im Arbeitsblatt können über das Eingabefeld für f(x) beliebige Funktionen eingegeben werden.

Exponenten werden mit ^ eingegeben. Bei Klick in das Eingabefeld wird rechts im Feld ein α sichtbar. Wird dieses mit der linken Maustaste angeklickt, erscheint ein Auswahlfeld mit mehreren mathematischen Symbolen.

Eine Beschränkung des Definitionsbereiches erreichen Sie durch die Eingabe IF['Bedingung', 'Term A', 'Term B']. Die Eingabe liest sich wie folgt: WENN 'Bedingung' DANN 'Term A', SONST 'Term B'. Falls für 'Term A' oder 'Term B' keine Einsetzung erfolgt, ist die Funktion auf diesem Bereich auch nicht definiert.

Mit Rechts-Klick auf das Arbeitsblatt erscheint ein Menü, mit dem Sie die Parameter der Graphik verändern können. Hier können Sie über die Auswahl zu 'xAxis:yAxis:' die Achsenverhältnisse verändern. Bei sehr kleinen Maßstäben empfiehlt es sich, das Koordinatengitter auszuschalten (Option 'Grid'). Beachten Sie: Ein Reload im Arbeitsblatt oder über den Browser setzt alle Änderungen zurück.

Ist die Checkbox 'X einblenden' aktiviert, wird ein Punkt X im Intervall [a,b] auf dem Graphen f sichtbar. Zu diesem Punkt erscheint auf dem Geradenabschnitt PQ der Punkt X̃. Die y-Werte von X und X̃ werden auf der y-Achse abgetragen.

Die Punkte P, Q und X können verschoben werden. X ist dabei auf das Intervall beschränkt.