1. Die Geschwindigkeit eines PKWs beim Anfahren lässt sich durch die Funktion f(x) = 1,5x2 für x ≥ 0 x ∈ [0,5] beschreiben. Dabei enspricht x den Sekunden (s) und y den zurückgelegten Metern (m).
    Gesucht ist die Geschwindigkeit (m/s) in der 4. Sekunde nach dem Start.
    1. Setzen Sie x0 = 4. Bestimmen Sie jeweils die Steigungeb mP,Q, mP,P0 und Q,P0.

      x0 = 4 I1 = [1,7] I2 = [2,6] I3 = [3,5]
      mP,Q
      mP,P0
      mQ,P0

      Bestimmen Sie das Intervall [a,b], auf dem die Steigungen der Teilintervalle [a,x0] und [x0,b] der Steigung auf [a,b] am nächsten kommen.

    2. Verschieben Sie die Punkte P und Q Richtung P0. Vervollständigen Sie die nachstehenden Sätze:
      • Je kleiner das Intervall [a,b] desto ............. spiegelt die mittlere Geschwindigkeit die tatsächliche Geschwindigkeit wider.
      • Je kleiner das Intervall [a,b] desto ............. liegen die Sekanten beieinander.
      • Je kleiner das Intervall, desto ............. unterscheiden sich die Sekantensteigungen.
      • Begründen Sie: Die Sekantensteigung ml existiert nicht, P0 auf P liegt. Die Sekantensteigung mr existiert nicht, wenn P0 auf Q liegt.
      • Geben Sie einen Näherungswert für die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x = 4 sec an.
      • Begünden Sie: Der Grenzwert der Differenzenfunktion von f: lim x→4 f(x)-f(4)x−4 entspricht der momentanen Geschwindigkeit in der 4.ten Sekunde.
  2. Gegeben ist die Funktion f(x) = x2. Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Funktion an der Stelle x0 = 3, indem Sie sich mit den Punkten P und Q an den Punkt P0 annähern. Vergleichen Sie die Steigungen der Sekanten durch P,P0, Q,P0 und P,Q.
    Verfahren Sie genauso an der Stelle x0 = 0.
  3. Bestimmen Sie zu den gegebenen Funktionen und x-Werten jeweils einen Näherungswert für die Änderungsrate an der Stelle x0:
    • f(x) = 0.25 x2, x0 = -1; -0.5; 0.5; 1; 2. Erstelle eine Tabelle.
      x0 -1 -0.5 0.5 1 2
      Näherungswert der Steigung
    • f(x) = 13 x3, x0 = -2; -1; -0.5; 0.5; 1; 2. Erstelle eine Tabelle.
      x0 -2 -1 -0.5 0.5 1 2
      Näherungswert der Steigung
  4. Gegeben ist die Funktion f(x) = | x | + 1.
    • Untersuchen Sie die Steigung der Funktion an den Stellen x0 = -2, x0 = -1, x0 = 1, und x0 = 2.
    • Vervollständigen Sie: Die Steigung ist für x < 0 immer ......, für x > 0 immer.......
    • Betrachten Sie die Stelle x0 = 0. Schieben Sie P bzw. Q möglichst nahe an P0 heran. Vervollständigen Sie:
      Bei der Näherung von links an P0 bleibt die Steigung ............ .
      Bei der Näherung von rechts an P0 bleibt die Steigung ............ .
      Die Näherungsgeraden sind ............ (gleich|verschieden).
    • Begründen Sie: Für die Funktion f(x) = | x | + 1 kann an der Stelle x0 = 0 keine eindeutige Steigung angegeben werden. Damit ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.
  5. Untersuchen Sie die Funktion f an der Stelle x0auf Differenzierbarkeit.
    1. f(x)=|x−2|; x0=2
    2. f(x)= (x−1)|x−1|; x0=1
    3. f(x)= x|x|+1; x0=1

Allgemeine Tipps & Klicks

Was? Wie? Wann?
Arbeitsblatt neu laden Reload-Button im Arbeitsblatt oben rechts Das Arbeitsblatt soll in den Anfangszustand zurückgesetzt werden; das Arbeitsblatt lässt sich nicht mehr richtig nutzen.
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Grafikfenster
Verschieben 2D linke Maustaste gedrückt halten und Mauszeiger verschieben
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Verschieben 3D Shift und linke Maustaste gedrückt halten und Mauszeiger verschieben. Ein anderer Ausschnitt soll sichtbar werden.
Drehen 3D Linke Maustaste gedrückt halten und Mauszeiger verschieben. 3D Ansicht wird gedreht.
Zoomen Rollrad der Maus bewegen
Tablet: Mit zwei Fingern auf-/zu bewegen		 Die Ansicht soll vergrößert / verkleinert werden.
Einheiten x- oder y-Achse strecken /stauchen, SHIFT+ Mauszeiger auf die Achse und nach rechts oder links ziehen Eine Achse so gestreckt / gestaucht werden.
Refresh (löscht Spuren (Traces)) STRG+SHIFT+F Ansicht soll aufgefrischt, Spuren gelöscht werden.
getestete Browser
Chrome (ab Version 50) Fullscreen funktioniert manchmal nicht richtig (Fenster zu weit)
Firefox (ab Version 46) ist manchmal etwas langsam bei der Auswertung von Nutzeraktionen im Graphikteil (insb. beim Einsatz von Tabellen)
Microsoft Edge (ab Version 126) ok
Opera one (ab Version 111) ok
Eingabefelder
mathematische Symbole Rechtsklick auf das α im Eingabefeld zeigt ein Kontextmenü mit mathematischen Symbolen
mathematische Funktionen Potenzen wie üblich mit ˆ, Exponentialfunktion ex: exp(x), Betragsfunktion |x|: abs(x), Wuerzelfunktion sqrt(x), abschnittsweise definierte Funktionen mit IF['Bedingung', 'Term A', 'Term B']
Überprüfen von Eingaben Eingabe mit Return + Klick irgendwo hin abschließen

zu: Übergang zur momentanen Änderungsrate

Das Arbeitsblatt behandelt den Übergang von der mittleren Änderungsrate (Steigung) einer Funktion auf einem Intervall [a, b] - gegeben durch die Punkte P und Q - zu der Änderungsrate (Steigung) in einem Punkt P0. Die Punkte P, Q und P0 können verschoben werden.

Sie können die Werte der Änderungsraten auch in eine Tabelle eintragen lassen. Die Tabellenansicht wird mit STRG + SHIFT + S aktiviert (deaktiviert). Es werden jeweils die letzten 10 Werte angezeigt.

Durch Markieren einer Zelle bzw. eines Zellenverbunds und DEL (Entf) werden die Elemente der Liste gelöscht.

Über das Eingabefeld für f(x) können beliebige Funktionen eingegeben werden.

Exponenten werden mit ^ eingegeben. Bei Klick in das Eingabefeld wird rechts im Feld ein α sichtbar. Wird dieses mit der linken Maustaste angeklickt, erscheint ein Auswahlfeld mit mehreren mathematischen Symbolen.

Eine Beschränkung des Definitionsbereiches erreichen Sie durch die Eingabe IF['Bedingung', 'Term A', 'Term B']. Die Eingabe liest sich wie folgt: WENN 'Bedingung' DANN 'Term A', SONST 'Term B'. Falls für 'Term A' oder 'Term B' keine Einsetzung erfolgt, ist die Funktion auf diesem Bereich auch nicht definiert.