Sei f eine Funktion mit dem Definitionsbereich Df. f ist stetig in x0 ∈ D, wenn gilt: limx → x0 f(x) = f(x0).
  1. Im Arbeitsblatt links werden zwei veränderbare Umgebungen angezeigt:

    Die ε - Umgebung um den Funktionswert f(x0) und die δ - Umgebung um x0.

    Zusätzlich wird das Bild f(Uδ) (grün) gezeigt.

    Schauen Sie sich die Funktionen abs(x) und sgn(x) an.
    • Begründen Sie die Aussage: f ist stetig in x0, wenn es zu jedem noch so kleinen ε ein δ gibt, so dass das Bild der δ - Umgebung um x0 innerhalb der ε - Umgebung um f(x0) liegt.
    • Wie kann diese Aussage genutzt werden, um zu zeigen, dass eine Funktion an einer Stelle x0 nicht stetig (unstetig) ist?
    • Begründen Sie: Warum kann man nicht von δ aus argumentieren? Also in der Art: f ist stetig in x0, wenn es zu jedem noch kleinen δ ein ε gibt, so dass f(Uδ) in der ε - Umgebung liegt.
  2. Untersuchen Sie folgende Funktionen auf unstetige Stellen x0. Begründen Sie die Unstetigkeit mit dem ε - δ Kriterium.
    • f(x) = | x |, f(x) = | x | / x ; für | x | gib ein: abs(x)
    • f(x) = sign(x)
    • f(x) = x ⋅ | x -1 |
    • f(x) = If [ x > 0, sqrt(x), 1- x ]
    • f(x) = If [ x ≤ 2, 0.5x, 0.5x + 0.5 ],
    • f(x) = If [ x ≠ 2, 0.5x, 3/2 ]
    • f(x) = [x] (Gaussklammerfunktion), Eingabe: floor(x)
    ...und probieren Sie selbst andere Funktionen!

Allgemeine Tipps & Klicks

Was? Wie? Wann?
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Browserwahl
Chrome (Version 50) erste Wahl
Firefox (Version 46) ist manchmal etwas langsam bei der Auswertung von Nutzeraktionen im Graphikteil (insb. beim Einsatz von Tabellen)
Microsoft Edge zur Zeit besser nicht: Graphikfenster verschwindet manchmal
Internet Explorer 11 zur Zeit besser nicht: auch hier wird das Graphikfenster zu oft komplett erneuert.
Eingabefelder
mathematische Symbole Rechtsklick auf das α im Eingabefeld zeigt ein Kontextmenü mit mathematischen Symbolen
mathematische Funktionen Potenzen wie üblich mit ˆ, abschnittsweise definierte Funktionen mit IF['Bedingung', 'Term A', 'Term B']

zu: Das ε - δ- Kriterium

Über das Eingabefeld zu f(x) können beliebige Funktionen eingegeben werden.

Eine Beschränkung des Definitionsbereiches erreichen Sie durch die Eingabe IF['Bedingung', 'Term A', 'Term B']. Die Eingabe liest sich wie folgt: WENN 'Bedingung' DANN 'Term A', SONST 'Term B'. Falls für 'Term A' oder 'Term B' keine Einsetzung erfolgt, ist die Funktion auf diesem Bereich auch nicht definiert.

Die Werte für ε bzw. δ können über den jeweiligen Schieberegler bzw. über das jeweilige Eingabefeld verändert werden.

Der Punkt P kann entlang des Graphen zu f verschoben werden.