Die ε - Umgebung um den Funktionswert f(x₀) (orange) und die δ - Umgebung um $x_0$( grün).

Zusätzlich wird das Bild $\mathrm{f(}{U}_{\delta })$ (grün) gezeigt.

• Erläutern Sie die Aussage: f ist stetig in $x_0$, wenn es zu jedem noch so kleinen ε ein δ gibt, so dass das Bild der δ - Umgebung um $x_0$ innerhalb der ε - Umgebung um f(x₀) liegt.
• Begründen Sie: Mit dieser Aussage kann auch gezeigt werden, dass eine Funktion an einer Stelle $x_0$ nicht stetig (unstetig) ist. Formulieren Sie dazu eine Aussage.

• $\mathrm{f(x)}=\left|x\right|$
• $\mathrm{f(x)}=\frac{\left|x\right|}{x}$
• $\mathrm{f(x)}=\mathrm{sign(x)}$
• $\mathrm{f(x)}=x\cdot |x-1|$
• $\mathrm{f(x)}=\text{Wenn}(x>0,\sqrt{x},1-x)$
• $\mathrm{f(x)}=\text{Wenn}(x\le 2,0.5x,0.5x+0.5)$
• $\mathrm{f(x)}=\text{Wenn}(x\ne 2,0.5x,\frac{3}{2})$
• $\mathrm{f(x)}=\mathrm{[x]}$ (Gaussklammerfunktion), Eingabe: floor(x)

...und probieren Sie selbst andere Funktionen!